§ 5. Начисление процентов

Если говорить кратко, то начисление процентов — это процесс увеличения задолженности заёмщика перед кредитором с течением времени.

Например, начисление процентов по вкладу выливается в увеличение суммы на счету вкладчика (деньги на счету — это задолженность банка перед вкладчиком). Начисление процентов по кредиту — это увеличение суммы, которую заёмщику нужно будет вернуть в банк.

Процентная ставка

Начисляемые проценты являются платой заёмщика за пользование ссудой — никто просто так не даст пользоваться своими деньгами, точно так же, как никто не даст бесплатно автомобиль на прокат. Размер этой платы определяется с помощью так называемой процентной ставки, которая равна относительному приращению задолженности за единицу времени, то есть за год. Иными словами, если обозначить через S0 первоначальный размер задолженности, а через S(1) — размер задолженности по истечении года, то процентная ставка определяется по формуле

\[ \begin{equation} \tag{5.1} i = \frac{S(1)-S_0}{S_0} \end{equation} \]

Процентная ставка используется для сравнения между собой однотипных ссудных операций: чем выше процентная ставка, тем выгоднее сделка для кредитора. Это становится понятно, если переписать предыдущую формулу следующим образом:

\[\tag{5.2} S(1) = (1+i) S_0 \]

— отсюда видно, что S(1) тем больше, чем больше i.

Пример
Один банк предлагает вклады в рублях под 8% годовых, а другой — под 10%. Если вкладчик имеет на руках 100 тысяч рублей, то, вложив деньги в первый банк, через год он получит сумму

(1 + 0,08) · 100 = 108 тысяч рублей,

а вложив во второй —

(1 + 0,1) · 100 = 110 тысяч рублей.

Разница в 2 тысячи рублей обусловлена разницей в предлагаемых процентных ставках.

Методы начисления процентов

Пытливый читатель должен тут же задаться вопросом: а что будет, если вкладчик заберёт деньги из банка не через год, а через полгода? Какая сумма будет на его счету? Другими словами, по какому принципу происходит начисление процентов? Как, зная только процентную ставку и сумму начального долга, определить размер задолженности в произвольный момент времени?

Как часто бывает в жизни (и как мы уже видели в предыдущем параграфе), однозначного ответа на эти простые вопросы не существует — всё дело в договорённости между кредитором и заёмщиком. Тем не менее даже люди, далёкие от финансовой математики, знают, что существует два базовых принципа начисления процентов — метод простых процентов и метод сложных процентов.

Метод простых процентов

Метод простых процентов заключается в том, что задолженность заёмщика перед кредитором возрастает с постоянной скоростью. Это значит, что график задолженности является прямой линией, проходящей через точки S0 и S(1) = (1+ i ) S0:


Увеличение задолженности заёмщика по методу простых процентов

Формула, с помощью которой можно найти размер задолженности в произвольный момент времени t, для метода простых процентов имеет следующий вид:

\[ \tag{5.3} S(t) = (1 + it ) S_0\]

(в этом нетрудно убедиться, если подставить в неё значения t = 0 и t = 1).

Пример
Допустим, что вкладчик положил сумму 100 тысяч рублей в банк, предлагающий 10% годовых. Если банк использует метод простых процентов для начисления процентов по вкладу, то через полгода на счету вкладчика будет сумма

\(S\left(\tfrac{1}{2}\right) = \left(1 + 0,1 \cdot \tfrac{1}{2} \right) \cdot 100 = 105\) тысяч рублей.

Метод сложных процентов

Смысл метода простых процентов заключается в том, что проценты начисляются всё время на одну и ту же сумму — начальный долг (поэтому скорость начисления процентов постоянна). В отличие от этого, метод сложных процентов характеризуется фразой «начисление процентов на проценты». Это значит, что задолженность заёмщика возрастает в геометической прогрессии: задолженность в предыдущий момент времени служит основой для начисления процентов в следующий момент:


Увеличение задолженности заёмщика по методу сложных процентов

Наглядно представить этот механизм можно следующим образом. Предположим, что вкладчик положил в банк сумму \(S_0\) под процентную ставку i. Тогда через год на его счету будет сумма \(S(1) = (1+ i ) S_0\). Если вкладчик решит не снимать деньги со счёта, а снова их вложить с теми же условиями (реинвестировать), то уже через два года от даты совершения первого вклада на его счету будет сумма

\[S(2) = (1+ i ) S_1 = (1+ i )^2 S_0\]

Продолжая в том же духе, за n лет вкладчик сможет получить сумму

\[S(n) = (1+ i )^n S_0\]

Как видим, сумма вклада возрастает в геометрической прогрессии. Если обобщить этот пример, то можно сказать, что при использовании метода сложных процентов задолженность заёмщика является показательной функцией от времени (показательная функция — это обобщение геометрической прогрессии):

\[\tag{5.4}S(t) = (1+ i )^t S_0\]

Пример
Предположим, что вкладчик положил сумму 100 тысяч рублей всё в тот же банк, предлагающий вклады под 10% годовых. Если банк использует метод сложных процентов для начисления процентов по вкладу, то через полгода на счету вкладчика будет сумма

\(S\left(\tfrac{1}{2}\right) = (1 + 0,1)^\frac{1}{2} \cdot 100\ 000 \approx 104\ 881\) рубль.

Обратите внимание: в этом и предыдущем примерах мы неявно полагали, что вклад на полгода имеет продолжительность ½ года. Если бы мы знали точные даты начала и окончания этой финансовой операции, то для получения правильного результата нам бы пришлось вычислять её точную продолжительность в годах по методу «365/365».

Комментарии

В последнем примере этой главы капитализация (один год) является больше чем период сделки (пол года). С моей точки зрения это теоретически не может быть. Поправьте меня пожалуйста если я не прав.

В данном примере речь о капитализации вообще не идёт, мы лишь сравниваем методы начисления процентов. Практически во всех финансовых расчётах используется годовая процентная ставка, но это отнюдь не значит, что все операции обязаны длиться один год (или кратно году).

В примере речь могла идти, скажем, о безотзывном вкладе продолжительностью пару лет. В таком случае сумма на счету вкладчика через полгода будет являться чисто информативной величиной (снять со счёта её нельзя). Или, наоборот, это мог быть именно полугодовой вклад, и тогда полученную сумму вкладчик снимет со счёта через полгода.

Судя по графикам начисление процентов происходит непрерывно. Такого на практике нет. Даже если это опустить, последний пример ошибочный, при непрерывном начислении зависимость экспоненциальная, сумма будет намного больше.
Без расчетов понятно что при сложных процентах начисления будут больше. Автора похоже не смущает цифра меньшая 105 тысяч.

Marry, по поводу непрерывности начисления - речь идёт о математических способах расчёта размера процентных денег, а не о капитализации. По поводу сравнения методов простых и сложных процентов - смотрите следующий параграф.

Добавить комментарий

Filtered HTML

  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Доступные HTML теги: <a> <em> <strong> <cite> <blockquote> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <dd>
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.

Plain text

  • HTML-теги не обрабатываются и показываются как обычный текст
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
Type the characters you see in this picture. (проверить с помощью аудио)
Введите символы, которые вы видите на картинке сверху; если вы не можете их прочитать, отправьте форму, и появится новая картинка. Регистр ввода не имеет значения.