§ 15. Номинальная процентная ставка

С этого параграфа мы начинаем рассмотрение метода сложных процентов, не столь часто применяемого в кредитовании, как метод простых процентов, но широко распространённого в других областях финансов. В частности, метод сложных процентов используется для начисления процентных денег по долгосрочным вкладам (продолжительностью более года).

Напомню, что смысл этого метода выражается фразой «начисление процентов на проценты». Это значит, что задолженность заёмщика в предыдущий момент времени служит основой для начисления процентов в следующий момент (см. § 5). При этом размер задолженности увеличивается в геометрической прогрессии (или в соответствии с показательной функцией, если считать время непрерывным). Например, если вкладчик положил в банк 100 тысяч рублей под сложную процентную ставку i = 6%, то через, скажем, пять месяцев на его счету будет сумма

S(5/12) = (1 + i )5/12S0 = 1,065/12 · 100 000 ≈ 102 458 рублей.

Понятие номинальной процентной ставки

Понятно, что без специальной техники производить такие вычисления не очень удобно, а до недавнего времени это было возможно только с помощью специальных таблиц с затабуированными множителями наращения. Чтобы уйти от необходимости извлекать громоздкие корни при расчётах с использованием сложных процентов, для задания сложных процентных ставок на практике применяются так называемые номинальные процентные ставки. Их суть заключается в следующем.

Если вы положили деньги в банк, то проценты по вкладу будут начисляться не непрерывно, а с некоторой периодичностью — раз в год, квартал, месяц или даже день. Этот процесс начисления процентных денег и их присоединения к сумме вклада называется «капитализацией процентов». Так вот, допустим, что капитализация процентов происходит m раз в год. Тогда, если известна j — номинальная процентная ставка по вкладу, то каждый раз при начислении процентов сумма на счету вкладчика будет увеличиваться в

\(1 + \dfrac{j}{m}\) раз.

Понятно, что по сути речь здесь идёт о применении комбинированной схемы простых и сложных процентов (последней из рассмотренных в § 6).

Пример
Вкладчик положил на счёт в банке сумму в 200 тысяч рублей. Если номинальная процентная ставка по вкладу равна 8%, а проценты капитализируются раз в квартал (банк, разумеется, использует сложные проценты), то через полгода (то есть после двух начислений процентов) сумма на счету вкладчика будет составлять

200 000 · (1 + 0,08/4)2 = 208 080 рублей.

Эффективная процентная ставка

Если задана номинальная процентная ставка, и капитализация процентов осуществляется m раз в год, то за год сумма вклада увеличится в

\(\left( 1+ \dfrac{j}{m} \right)^m\) раз.

Так как, с другой стороны, всегда должно выполняться соотношение для сложной процентной ставки: S(1) = (1+ i ) S0, то

\[\tag{15.1} i = \left( 1+ \frac{j}{m} \right)^m - 1\]

Найденная таким образом сложная процентная ставка называется «эффективной», так как она, в отличие от номинальной ставки, характеризует настоящую доходность (эффективность) ссудной операции.

Пример
Если номинальная ставка по вкладу равна 18%, и проценты начисляются каждый месяц, то эффективная процентная ставка будет составлять

\(i = \left( 1+ \dfrac{0,18}{12} \right)^{12} - 1 \approx 0,1956 = 19,56\%\) годовых,

то есть на полтора процента больше, чем заявлено.

Вообще говоря, эффективная процентная ставка всегда больше, чем номинальная. В этом нетрудно убедиться, разложив правую часть соотношения (15.1) по формуле бинома Ньютона.

Непрерывное начисление сложных процентов

Как известно, для стремящегося к бесконечности числа x существует предел

\[\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e,\]

где e = 2,718281828... — основание натуральных логарифмов. Эта формула называется вторым замечательным пределом. Из неё следует, в частности, что справедливо соотношение

\[\lim_{m \to \infty} \left( 1 + \frac{j}{m} \right)^m = e^j\]

Значит, если капитализация процентов осуществляется достаточно часто, например, ежедневно, то эффективную процентную ставку можно приближённо найти следующим образом:

\[\tag{15.2} i \approx e^j - 1\]

Пример
Снова будем предполагать, что номинальная процентная ставка по вкладу составляет 18%, но капитализация процентов осуществляется ежедневно (m = 365). Точное значение эффективной процентной ставки, найденное по формуле (15.1), будет равно

\[i = \left( 1 + \dfrac{0,18}{365} \right)^{365} - 1 = 0,197164...\]

Если же использовать приближённую формулу (15.2), то можно получить следующий результат:

ie0,18 – 1 = 0,197217...

Как видите, расхождение совсем невелико.

Добавить комментарий

Filtered HTML

  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Доступные HTML теги: <a> <em> <strong> <cite> <blockquote> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <dd>
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.

Plain text

  • HTML-теги не обрабатываются и показываются как обычный текст
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
Type the characters you see in this picture. (проверить с помощью аудио)
Введите символы, которые вы видите на картинке сверху; если вы не можете их прочитать, отправьте форму, и появится новая картинка. Регистр ввода не имеет значения.